پاسخ کاردرکلاس صفحه 17 ریاضی دهم

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۱ صفحه ۱۷ ریاضی دهم سلام! این تمرین در مورد الگوهای هندسی و یافتن رابطه‌ی جبری اون‌هاست. در این الگو، در هر مرحله یک مربع بزرگتر تشکیل می‌شه که در مرکز اون یک یا چند مربع سفید (رنگ نشده) وجود داره. ### ۱. رسم شکل بعدی (شکل ۴) * **شکل ۱:** یک مربع $۲ \times ۲$ داریم با ۴ مربع رنگی. (یک مربع سفید در مرکز ندارد) * **شکل ۲:** یک مربع $۳ \times ۳$ داریم با ۸ مربع رنگی. (یک مربع سفید در مرکز دارد) * **شکل ۳:** یک مربع $۴ \times ۴$ داریم. **تعداد کل مربع‌ها ۱۶** است و مربع‌های سفید مرکزی **۴ تا** هستند (یک مربع $۲ \times ۲$). پس مربع‌های رنگی: $۱۶ - ۴ = ۱۲$ تاست. * **شکل ۴:** باید یک مربع $۵ \times ۵$ باشد (کل مربع‌ها ۲۵ تا). مربع‌های سفید مرکزی **۹ تا** خواهند بود (یک مربع $۳ \times ۳$). * **تعداد مربع‌های رنگی $\\text{b}_{\text{۴}}$:** $۲۵ - ۹ = ۱۶$ ### ۲. تکمیل جدول | $\text{n}$ : شماره‌ی شکل | ۱ | ۲ | ۳ | ۴ | ۵ | | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | :--- | | $\text{b}_{\text{n}}$ : تعداد مربع‌های رنگی | ۴ | ۸ | **۱۲** | **۱۶** | **۲۰** | | رابطه‌ی بین $\text{b}_{\text{n}}$ و $\text{n}$ | $\text{b}_{\text{۱}} = ۴(۱)$ | $\text{b}_{\text{۲}} = ۴(۲)$ | $\mathbf{\text{b}_{\text{۳}} = ۴(۳)}$ | $\mathbf{\text{b}_{\text{۴}} = ۴(۴)}$ | $\mathbf{\text{b}_{\text{۵}} = ۴(۵)}$ | **توضیح:** همان‌طور که در جدول مشخص شد، تعداد مربع‌های رنگی در هر مرحله ۴ تا اضافه می‌شود (۴، ۸، ۱۲، ۱۶، ۲۰). این به این معنی است که الگو یک **دنباله‌ی حسابی** است که هر جمله‌ی آن برابر با **۴ برابر شماره‌ی شکل** است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۲ صفحه ۱۷ ریاضی دهم یک الگو، **الگوی خطی** (یا دنباله‌ی حسابی) نامیده می‌شه، اگر رشد اون در هر مرحله **ثابت** باشه. ### چرا این الگو خطی است؟ 1. **اختلاف مشترک (قدر نسبت):** برای تعیین خطی بودن، باید تفاوت بین هر جمله با جمله‌ی قبلی رو محاسبه کنیم: * $\text{b}_{\text{۲}} - \text{b}_{\text{۱}} = ۸ - ۴ = ۴$ * $\text{b}_{\text{۳}} - \text{b}_{\text{۲}} = ۱۲ - ۸ = ۴$ * $\text{b}_{\text{۴}} - \text{b}_{\text{۳}} = ۱۶ - ۱۲ = ۴$ 2. **ثابت بودن رشد:** از آنجایی که اختلاف بین جملات متوالی (قدر نسبت) همیشه برابر با عدد ثابت **۴** است، این الگو یک **الگوی خطی** محسوب می‌شود. 3. **فرمول کلی:** فرمول کلی (جمله‌ی $\text{n}$-ام) الگوهای خطی همیشه به صورت $\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = \text{a} \text{n} + \text{h}}$ است. در این الگو، $\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n}$ است که یک فرمول خطی می‌باشد (نمودار این رابطه روی یک دستگاه مختصات، یک خط راست خواهد بود).

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۳ صفحه ۱۷ ریاضی دهم در فرمول کلی الگوهای خطی (دنباله‌ی حسابی) $\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = \text{a}\text{n} + \text{h}}$: * **$\text{a}$** همیشه برابر با **میزان افزایش ثابت** (اختلاف مشترک یا قدر نسبت) است. * **$\text{h}$** مقدار ثابتی است که برای تصحیح فرمول اضافه می‌شود (شروع الگو). ### ۱. یافتن مقدار $\text{a}$ (قدر نسبت) در قسمت قبل دیدیم که میزان افزایش ثابت در هر مرحله برابر با ۴ است: $$\text{a} = ۴$$ ### ۲. تعیین $\text{h}$ و فرمول $\text{b}_{\text{n}}$ مقدار $\text{a} = ۴$ را در فرمول قرار می‌دهیم: $$\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n} + \text{h}$$ حالا $\text{h}$ را با جایگذاری جمله‌ی اول ($ ext{n}=۱$) پیدا می‌کنیم. می‌دانیم $\text{b}_{\text{۱}} = ۴$: $$\text{b}_{\text{۱}} = ۴(۱) + \text{h}$$ $$۴ = ۴ + \text{h}$$ $$\text{h} = ۴ - ۴ = ۰$$ ### ۳. فرمول نهایی $\text{b}_{\text{n}}$ با جایگذاری $\text{a}=۴$ و $\text{h}=۰$، فرمول نهایی به دست می‌آید: $$\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n}}$$ **توضیح:** چون $\text{h}$ صفر شد، این الگو یک **دنباله‌ی حسابی خالص** است که از صفر شروع می‌شود و با قدر نسبت ۴ رشد می‌کند.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۴ صفحه ۱۷ ریاضی دهم برای پیدا کردن تعداد مربع‌های رنگی در **شکل شماره‌ی ۲۵۰**، از فرمول کلی که در بخش قبلی به دست آوردیم ($\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n}}$) استفاده می‌کنیم. ### ۱. هدف ما به دنبال مقدار $\mathbf{\text{b}_{\text{۲۵۰}}}$ هستیم، یعنی $n=۲۵۰$. ### ۲. جایگذاری در فرمول $$\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n}$$ $$\text{b}_{\text{۲۵۰}} = ۴ \times ۲۵۰$$ ### ۳. محاسبه $$\mathbf{\text{b}_{\text{۲۵۰}} = ۱۰۰۰}$$ **پاسخ:** شکل شماره‌ی ۲۵۰ دارای **۱۰۰۰** مربع رنگی است.

پاسخ تشریحی و گام به گام کار در کلاس ۵ صفحه ۱۷ ریاضی دهم این سؤال برعکس سؤال قبلی است؛ تعداد مربع‌های رنگی ($\mathbf{\text{b}_{\text{n}} = ۱۴۴}$) داده شده و ما باید **شماره‌ی شکل** (مقدار $\mathbf{\text{n}}$) را پیدا کنیم. ### ۱. تشکیل معادله فرمول کلی الگو: $$\text{b}_{\text{n}} = ۴\text{n}$$ $ ext{b}_{\text{n}}$ را برابر ۱۴۴ قرار می‌دهیم: $$\mathbf{۱۴۴ = ۴\text{n}}$$ ### ۲. حل معادله برای پیدا کردن $\text{n}$، دو طرف معادله را بر ۴ تقسیم می‌کنیم: $$\text{n} = \frac{۱۴۴}{۴}$$ $$\mathbf{\text{n} = ۳۶}$$ **پاسخ:** در **شکل شماره‌ی ۳۶** (سی و ششمین مرحله) از الگو، تعداد مربع‌های رنگی برابر ۱۴۴ است.